Venn: de man achter de beroemde diagrammen – en waarom zijn werk vandaag de dag nog steeds van belang is

Venn de man achter de beroemde diagrammen en waarom

Auteur voorzien

In april 2023 is het 100 jaar geleden dat wiskundige en filosoof John Venn overleed. U bent wellicht bekend met Venn-diagrammen – de alomtegenwoordige afbeeldingen van meestal twee of drie elkaar kruisende cirkels, die de relaties tussen twee of drie verzamelingen van dingen illustreren.

Tijdens de pandemie hielpen Venn-diagrammen bijvoorbeeld om de symptomen van COVID-19 te illustreren die verschillen van seizoensgebonden allergieën. Ze worden ook vaak onderwezen aan schoolkinderen en maken typisch deel uit van het vroege curriculum voor logica en databases in het hoger onderwijs.

John Venn.
wikipedia, CC BY-SA

Venn werd geboren in Hull, UK, in 1834. Zijn vroege leven in Hull werd beïnvloed door zijn vader, een Anglicaanse priester – verwacht werd dat John in zijn voetsporen zou treden. Hij begon aanvankelijk een carrière in de Anglicaanse kerk, maar stapte later over naar de academische wereld aan de Universiteit van Cambridge.

Een van Venn’s belangrijkste prestaties was het vinden van een manier om een wiskundig gebied, set-theorie genaamd, te visualiseren. De verzamelingenleer is een onderdeel van de wiskunde waarmee eigenschappen van verzamelingen objecten formeel kunnen worden beschreven.

We zouden bijvoorbeeld een verzameling auto’s kunnen hebben, C. Binnen deze verzameling zouden er deelverzamelingen kunnen zijn zoals de verzameling elektrische auto’s, E, de verzameling auto’s op benzine, zeg P, en de verzameling auto’s op diesel, D. Gegeven deze, kunnen we erop opereren, bijvoorbeeld om autokosten toe te passen op de verzamelingen P en D, en een korting op de verzameling E.

Dit soort operaties vormen de basis van databases, en worden gebruikt in vele fundamentele gebieden van de wetenschap. Andere belangrijke werken van Venn zijn de waarschijnlijkheidstheorie en de symbolische logica. Venn gebruikte aanvankelijk de diagrammen van de Zwitserse wiskundige Leonard Euler om enkele relaties tussen verzamelingen te tonen, die hij vervolgens ontwikkelde tot zijn beroemde Venn-diagrammen.

Venn gebruikte de diagrammen om een vorm van logische uitspraak te bewijzen die bekend staat als een categorisch syllogisme. Dit kan worden gebruikt om redeneringen te modelleren. Hier is een voorbeeld: “Alle computers hebben stroom nodig. Alle AI-systemen zijn computers.” We kunnen deze aan elkaar rijgen tot de conclusie dat “alle AI-systemen stroom nodig hebben”.

Tegenwoordig zijn we vertrouwd met dergelijke redeneringen om te illustreren hoe verschillende verzamelingen zich tot elkaar verhouden. Met de SmartArt tool in Microsoft producten kun je bijvoorbeeld een Venn-diagram maken om de relaties tussen verschillende verzamelingen te illustreren. In ons eerdere autovoorbeeld zouden we een diagram kunnen hebben met elektrische auto’s, E, en auto’s met een benzinemotor, P. De verzameling hybride auto’s met een benzinemotor zou zich in het snijpunt van P en E bevinden.

Logica en informatica

De visualisatie van verzamelingen (en databases) is nuttig, maar het belang van het werk van Venn toen – en nu – is de manier waarop zij het bewijs mogelijk maakten van George Boole’s ideeën over logica als formele wetenschap.

Venn gebruikte zijn diagrammen om dergelijke “symbolische logica” te illustreren en te onderzoeken – en deze te verdedigen en uit te breiden. Symbolische logica ligt ten grondslag aan de moderne informatica, en Booleaanse logica is een belangrijk onderdeel van het ontwerp van moderne computersystemen – waardoor zijn werk vandaag de dag relevant is.

Het werk van Venn was ook cruciaal voor het werk van filosoof Bertrand Russell, die liet zien dat er problemen zijn die onoplosbaar zijn. We kunnen zulke problemen uitdrukken met verzamelingen, waarin elk een onoplosbaar probleem is. Eén zo’n onoplosbaar probleem kan worden uitgedrukt met de “Barber-paradox”. Stel dat we in Wikipedia een artikel hadden dat alle artikelen bevat die zichzelf niet bevatten – een verzameling. Zit dit nieuwe artikel zelf in die verzameling?

Gelukkig kunnen we dat visualiseren met een Venn-diagram met twee cirkels, waarbij de ene cirkel de verzameling artikelen is die zichzelf niet bevatten, A, en de andere cirkel de verzameling artikelen die zichzelf wel bevatten, B.

We kunnen dan de vraag stellen: waar plaatsen we het artikel dat alle artikelen bevat die zichzelf niet bevatten? Denk er eens over na, en kijk dan waar je het zou plaatsen.

Een Venn-diagram van twee sets – een set A van artikelen die zichzelf bevatten, en een set B van artikelen die zichzelf niet bevatten.

Het probleem is dat het niet links kan staan, want dan zou het zichzelf bevatten, en dus inconsistent zijn. En het kan niet rechts staan, want dan zou het ontbreken, of onvolledig zijn. En het kan niet in beide. Het moet in één van beide zijn. Deze paradox illustreert hoe onoplosbare stellingen kunnen ontstaan – ze zijn geldig in de zin dat ze binnen het logisch systeem worden uitgedrukt, maar uiteindelijk onbeantwoordbaar. We zouden ons systeem kunnen uitbreiden om dit op te lossen, maar dan zouden we weer met een onbeantwoordbare vraag komen te zitten.

Venn’s diagrammen waren cruciaal om dit te begrijpen. En dit gebied van de wetenschap is nog steeds belangrijk, bijvoorbeeld als we kijken naar de beperkingen van machinaal leren en AI, waar we vragen kunnen stellen die niet beantwoord kunnen worden.

Venn had ook belangstelling voor het bouwen van mechanische machines – waaronder een bowlingmachine die zo effectief bleek dat hij enkele Australische topbatslieden van die tijd kon uitschakelen.

Na zijn abstracte werk over logica ontwikkelde hij het concept van een logisch-diagrammenmachine met veel verwerkingskracht: hoewel dit briljante idee uit 1881 pas vele tientallen jaren later als moderne computers zou verschijnen.

Wij herdenken Venn hier in Hull, met een brug in de buurt van zijn geboortehuis versierd met op de Venn-cirkel geïnspireerde kunstwerken. In het hoofdadministratiegebouw van de Universiteit van Hull is er een kruispunt van management en academie dat het Venn-gebouw wordt genoemd.

Neil Gordon werkt niet voor, geeft geen advies aan, bezit geen aandelen in en ontvangt geen financiering van bedrijven of organisaties die baat hebben bij dit artikel, en heeft geen relevante banden bekendgemaakt buiten zijn academische aanstelling.

Mobiele versie afsluiten